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考研
设A为n阶矩阵,证明:r(A*)=,其中n≥2.
设A为n阶矩阵,证明:r(A*)=,其中n≥2.
admin
2017-12-23
17
问题
设A为n阶矩阵,证明:r(A
*
)=
,其中n≥2.
选项
答案
AA
*
=A
*
A=|A|E. 当r(A)=n时,|A|≠0,因为|A
*
|=|A|
n-1
,所以|A
*
|≠0,从而r(A
*
)=n; 当r(A)=n-1时,由于A至少有一个n-1阶子式不为零,所以存在一个M
ij
≠0,进而A
ij
≠0,于是A
*
≠O,故r(A
*
)≥1,又因为|A|=0,所以AA
*
=|A|E=O,根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A
*
)≤n,而r(A)=n-1,于是得r(A
*
)≤1,故r(A
*
)=1; 当r(A)<n-1时,由于A的所有n-1阶子式都为零,所以A
*
=O,故r(A
*
)=0.
解析
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考研数学二
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