求二元函数z=f(x,y)=x2y(4—x—y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

admin2017-01-21  49

问题 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4—x—y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

选项

答案先求在D内的驻点,即 [*] 因此在D内只有驻点[*]相应的函数值为f(2,1)=4。 再求f(x,y)在D边界上的最值 (1)在x轴上y=0,所以f(x,0)=0。 (2)在y轴上x=0,所以f(0,y)=0。 (3)在x+y=6上,将y=6—x代入f(x,y)中,得 f(x,y)=2x2(x—6), 因此fx=6x2—24x=0。得x=0(舍),x=4。所以y=6—x=2。于是得驻点[*]相应的函数值(4,2)=x2y(4—x—y)|(4,2)=—64。 综上所述,最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=—64。

解析
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