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设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n,证明:ATA的特征值全大于零。
设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n,证明:ATA的特征值全大于零。
admin
2021-11-25
30
问题
设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n,证明:A
T
A的特征值全大于零。
选项
答案
首先A
T
A为实对称矩阵,r(A
T
A)=n,对任意的X≠0 X
T
(A
T
A)X=(AX)
T
(AX),令AX=α,因为r(A)=n,所以α≠0,所以 (AX)
T
(AX)=α
T
α=|α|
2
>0,即二次型X
T
(A
T
A)X是正定二次型,A
T
A为正定矩阵,所以A
T
A的特征值全大于零。
解析
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0
考研数学二
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