设n阶矩阵A,B等价,则下列说法中不一定成立的是( )

admin2019-08-12  52

问题 设n阶矩阵A,B等价,则下列说法中不一定成立的是(      )

选项 A、若|A|>0,则|B|>0。
B、如果A可逆,则存在可逆矩阵P,使得PB=E。
C、如果A与E合同,则|B|≠0。
D、存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B。

答案A

解析 两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。
当A可逆时,r(A)=n,所以r(B)=n,即B是可逆的,故B—1B=E,选项B成立。
矩阵的合同是一种等价关系,若A与E合同,则r(A)=r(B)=n,由选项B可知,选项C成立。
矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B,选项D成立。
事实上,当|A|>0(即A可逆)时,我们只能得到|B|≠0(即B可逆)。故选A。
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