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设f(x)为连续函数,F(x)=∫0xf(t)dt,证明: F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。
设f(x)为连续函数,F(x)=∫0xf(t)dt,证明: F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。
admin
2021-07-15
29
问题
设f(x)为连续函数,F(x)=∫
0
x
f(t)dt,证明:
F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。
选项
答案
设f(x)为奇函数,F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则 F(-x)-F(x)=∫
0
-x
f(t)dt-∫
0
x
f(t)dt=∫
x
-x
f(t)dt=0 所以F(x)是偶函数。 设f(x)是偶函数,F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则 F(-x)+F(x)=∫
0
-x
f(t)dt+∫
0
x
f(t)dt =∫
0
x
f(-u)(-du)+∫
0
x
f(t)dt =-∫
0
x
f(u)du+∫
0
x
f(t)dt=0 所以F(x)是奇函数。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/TglRFFFM
0
考研数学二
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