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  3. 设f(x)为连续函数，F(x)=∫0xf(t)dt,证明： F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。

设f(x)为连续函数，F(x)=∫0xf(t)dt,证明： F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。

admin2021-07-15  35
问题 设f(x)为连续函数，F(x)=∫0xf(t)dt,证明：
F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反。
选项
答案设f(x)为奇函数，F(x)=∫0xf(t)dt,则 F(－x)－F(x)=∫0-xf(t)dt－∫0xf(t)dt=∫x-xf(t)dt=0 所以F(x)是偶函数。 设f(x)是偶函数，F(x)=∫0xf(t)dt，则 F(－x)+F(x)=∫0－xf(t)dt+∫0xf(t)dt =∫0xf(－u)(－du)+∫0xf(t)dt =－∫0xf(u)du+∫0xf(t)dt=0 所以F(x)是奇函数。
解析
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考研数学二

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