设二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2, (Ⅰ)求二次型f的秩; (Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.

admin2017-10-25  23

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2
(Ⅰ)求二次型f的秩;
(Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.

选项

答案(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为 |λE-A|=(λ-1)2(λ-3), 故A的特征值为λ12=1,λ3=3.于是,A与对角矩阵[*]相似,又因为A与B相似,故B也与对角矩阵[*]相似,因此,B的特征值为λ12=1,λ3=3,且R(E-B)=1, 又因为x+5=λ123=5,解得x=0. 由 [*] 得y=-2,z=3. (Ⅱ)经计算可知,将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P1=[*],即 P1-1AP1=[*] 把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P2=[*],即 P2-1BP2=[*] 取 P=P1P2-1=[*] 有 PAP=P2P1-1AP1P2-1=P2[*]P2-1=B.

解析 将A,B分别与同一个对角阵相似,再由相似的传递性,可得A,B相似.
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