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设f(x)连续且f(x)≠0,又设f(x)满足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt,则f(x)=___________.
设f(x)连续且f(x)≠0,又设f(x)满足f(x)=∫0xf(z—t)dt+∫01f2(t)dt,则f(x)=___________.
admin
2018-03-30
12
问题
设f(x)连续且f(x)≠0,又设f(x)满足f(x)=∫
0
x
f(z—t)dt+∫
0
1
f
2
(t)dt,则f(x)=___________.
选项
答案
[*]
解析
f(x)=∫
0
x
f(x—t)dt+∫
0
1
f
2
(t)dt(第—个积分令x—t=u)
=一∫
x
0
f(u)du+∫
0
1
f
2
(t)dt=∫
0
x
f(u)du+∫
0
1
f
2
(t)dt.
令∫
0
1
f
2
(t)dt=a,于是
f(x)=∫
0
x
f(u)du+a,f’(x)=f(x),f(0)=a,
解得f(x)=Ce
x
.由f(0)=a,得f(x)=ae
x
,代入∫
0
1
f
2
(t)dt=a中,得
a=∫
0
1
f
2
(t)dt=a
2
∫
0
1
e
2t
dt=
(e
2
—1).
解得a=0(舍去),a
.
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0
考研数学三
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