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在旋转椭球面x2+y2+=1(c>0)上内接一个顶点在椭球面上,且表面平行于坐标面的长方体,问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。
在旋转椭球面x2+y2+=1(c>0)上内接一个顶点在椭球面上,且表面平行于坐标面的长方体,问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。
admin
2018-05-25
28
问题
在旋转椭球面x
2
+y
2
+
=1(c>0)上内接一个顶点在椭球面上,且表面平行于坐标面的长方体,问怎样选取长、宽、高才能使内接长方体的体积最大。
选项
答案
设内接长方体在第一象限内的顶点为A(x,y,z),则长方体的体积为V=8xyz,其中A(x,y,z)的坐标满足x
2
+y
2
+[*]=1。 由方程x
2
+y
2
+[*],从而把三元函数V=8xyz求最大值的问题化为求下述二元函数求最大值的问题: V(x,y)=8cxy[*],0<x<1,0<y<1。 等式两边分别对x和y求偏导,得方程组 [*] 解得x=[*]是函数V(x,y)在定义域内的唯一驻点,且由实际问题的性质知,体积最大的内接长方体一定存在,所以[*]就是V(x,y)的最大值点。因此当长方体的长、宽、高分别取[*]时,内接长方体的体积最大。
解析
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考研数学一
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