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设,E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系;(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.
设,E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系;(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.
admin
2021-01-19
54
问题
设
,E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系;(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.
选项
答案
(Ⅰ)用初等行变换化A为简单阶梯形矩阵: [*] 得Ax=0的同解方程组:[*] 求得一个非零解a=(-1,2,3,1)
T
,它构成Ax=0的基础解系. (Ⅱ)所求矩阵B应该是4×3矩阵.一种做法是把B的3个列向量分别作为3个线性方程组AX=(1,0,0)
T
,AX=(0,1,0)
T
和AX=(0,0,1)
T
的解来计算.下面的方法比较简单. 思路:满足AB=E的任何两个解的差都是AB=0的解.先求出AB=0的所有解,再求AB=E的一个特解,就可以得到满足AB=E的所有矩阵. ①AB=0的解是一个4×3矩阵,他的每一列都是Ax=0的解,因此是a的倍数,通解为 (c
1
a,c
2
a,c
3
a),c
1
,c
2
,c
3
为任意常数. ②求AB=E的一个特解. 用初等行变换化(A|E)为简单阶梯形矩阵: [*] ③AB=E的通解为 B
0
+(c
1
a,c
2
a,c
3
a), c
1
,c
2
,c
3
为任意常数.
解析
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考研数学二
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