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设α1，α2，…，αn-1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn-1正交，则( )
设α1，α2，…，αn-1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn-1正交，则( )
admin
2016-02-27
14
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n-1
是R
n
中线性无关的向量组，β
1
，β
2
与α
1
，α
2
，…，α
n-1
正交，则( )
选项
A、α
1
，α
2
，…，α
n-1
，β
1
必线性相关。
B、α
1
，α
2
，…，α
n-1
，β
1
，β
2
必线性无关。
C、β
1
，β
2
必线性相关。
D、β
1
，β
2
必线性无关。
答案
C
解析
由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错。
若α
i
(i=1，2，…，n-1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β
1
是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β
2
是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α
1
，α
2
，…，α
n-1
，β
1
线性无关，β
2
=2β
1
，所以选项A和D错误。
下证C选项正确：
因α
1
，α
2
，…，α
n-1
，β
1
，β
2
必线性相关，所以存在n+1个不全为零的常数k
1
，k
2
，…，k
n-1
，l
1
，l
2
，使
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0，
又因为α
1
，α
2
，…，α
n-1
线性无关，所以l
1
，l
2
一定不全为零，否则α
1
，α
2
，…，α
n-1
线性相关，产生矛盾。
在上式两端分别与β
1
，β
2
作内积，有
(l
1
β
1
+l
2
β
2
，β
1
)=0， ①
(l
1
β
1
+l
2
β
2
，β
2
)=0， ②
联立两式，l
1
×①+l
2
×②可得
(l
1
β
1
+l
2
β
2
，l
1
β
1
+l
2
β
2
)=0，
从而可得 l
1
β
1
+l
2
β
2
=0，
故β
1
，β
2
必线性相关。故选C。
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考研数学二
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