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设y=f(x)为[a,b]上严格增的连续曲线(图9-1). 试证存在ξ∈(a,b),使图中两阴影部分面积相等,
设y=f(x)为[a,b]上严格增的连续曲线(图9-1). 试证存在ξ∈(a,b),使图中两阴影部分面积相等,
admin
2022-11-23
24
问题
设y=f(x)为[a,b]上严格增的连续曲线(图9-1).
试证存在ξ∈(a,b),使图中两阴影部分面积相等,
选项
答案
作辅助函数 F(t)=∫
a
t
[f(x)-f(a)]dx-∫
t
b
[f(b)-f(x)]dx, 则F(t)在[a,b]连续可导.由f(x)为严格增函数可得 F(a)=-∫
a
b
[f(b)-f(x)]dx<0,F(b)=∫
a
b
[f(x)-f(a)]dx>0, 由根的存在性定理,在(a,b)内存在一点ξ,使得F(ξ)=0,即 ∫
a
ξ
[f(x)-f(a)]dx=∫
ξ
b
[f(b)-f(x)]dx, 上式两端恰为两部分面积,故证得结论.
解析
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考研数学二
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