设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T. 设C=E—ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

admin2015-08-17  37

问题 设有两个非零矩阵A=[a1,a2,…,an]T,B=[b1,b2,…,bn]T
设C=E—ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

选项

答案由于CTC=(E一ABT)T(E一ABT)=(E一BAT)(E—ABT)=E一BAT一ABT+BATABT,故若要求CTC=E-BAT一ABT+BBT,则BATABT-BBT=O,B(ATA一1)BT=O,即(ATA一1)BBT=O.因为B≠O,所以BBT≠O.故CTC=E-BAT一BBT+BBT的充要条件是ATA=1.

解析
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