已知α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,1,2,4)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,-3,a+b)T,β=(1,0,2,b)T,问a,b取何值时,(Ⅰ)B不能由α1,α2,α3,α4线性表示?(Ⅱ)B能用α1,α2,α3,α4线性表

admin2016-10-21  37

问题 已知α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,1,2,4)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,-3,a+b)T,β=(1,0,2,b)T,问a,b取何值时,(Ⅰ)B不能由α1,α2,α3,α4线性表示?(Ⅱ)B能用α1,α2,α3,α4线性表出,且表示法唯一;(Ⅲ)β能用α1,α2,α3,α4线性表出,且表示法不唯一,并写出此时表达式.

选项

答案设χ1α1+χ2α2+χ3α3+χ3α4=β.对增广矩阵(α1,α2,α3,α4[*]β)作初等行变换,有 [*] (Ⅰ)当a=1,b≠2或a=10,b≠-1时,方程组均无解.所以β不能由α1,α2,α3,α4线性表出. (Ⅱ)当a≠1且a≠10时,[*]b方程组均有唯一解.所以β能用α1,α2,α3,α4线性表示且表示法唯 一. (Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解,即(1)当a=10,b=-1时,方程组有无穷多解: χ4=t,[*] 即β=[*] (2)当a=1,b=2时,方程组有无穷多解:χ4=-[*],χ2=t,χ3=1-2t,χ1=5t-[*], 即β=(5t-[*])α1+tα2+(1-2t)α3-[*]α4

解析
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