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  3. 已知级数证明：f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=

已知级数证明：f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=

admin2017-05-31  27
问题 已知级数证明：f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=
选项
答案因为幂级[*]的收敛域为[一1，1]，所以函数f(x)的定义域是[一1，1]，函数f(1一x)的定义域是[0，2]． 令函数F(x)=f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1—x)，则F(x)的定义域是(0，1)． 由于 [*] 所以， F’(x)=f’(x)一f’(1一x)+[lnx．ln(1一x)]’=0，x∈(0，1)． 因此，F(x)=f(z)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=c，x∈(0，1)． 在上式两端，令x→1－，取极限，得[*] 从而f(x)+f(1一x)+ lnx?ln(1一x)=[*]
解析 欲证明一个函数在整个区间上恒等于常数C，常用的一个方法是：证明其导数在该区间上恒为零，再计算某个x的函数值即得．
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