设A为实对称矩阵，则当ε＞0且充分小时，E+＞εA为正定的，又当r＞0且充分大时，A+rE是正定的，这里的E是单位矩阵．

admin2016-02-27 45

问题设A为实对称矩阵，则当ε＞0且充分小时，E+＞εA为正定的，又当r＞0且充分大时，A+rE是正定的，这里的E是单位矩阵．

选项

答案只需证明A+rE及E+εA的特征根全部大于0即可．证 (1)显然E+εA为实对称矩阵．设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则E+εA的特征根为1+ελ₁，1+ελ₂，…，1+ελ_n．因A为实对称矩阵，故λ₁，λ₂，…，λ_n为实数．当ε充分小时，可使1+ελ₁，1+ελ₂，…，1+ελ_n全部都大于0，故E+εA为正定矩阵． (2)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A+rE的特征值为λ₁+r，λ₂+r，…，λ_n+r．因r＞0，且r充分大时，也可使λ₁+r，λ₂+r，…，λ_n+r全部大于0，因而A+rE也为正定矩阵．

解析

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考研数学二

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设A为实对称矩阵，则当ε＞0且充分小时，E+＞εA为正定的，又当r＞0且充分大时，A+rE是正定的，这里的E是单位矩阵．

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