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  3. 村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的4个小长方形，在A、B、C、D四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，那么长方形D的最大面积是：

村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的4个小长方形，在A、B、C、D四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，那么长方形D的最大面积是：

admin2021-04-16  22
问题 村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的4个小长方形，在A、B、C、D四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，那么长方形D的最大面积是：
选项 A、42平方米
B、49平方米
C、64平方米
D、81平方米
答案C
解析 解法一：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用方程法解题。
第二步，如图所示，设长方形A的宽为a，长为b，则a＋b＝10。长方形B的宽为c，则b＋c＝12。长方形C的长为d，则a＋d＝14，所以c＋d＝(a＋d)＋(b＋c)－(a＋b)＝16，长方形D的周长为32。或者由于C的周长比A多28－20＝8，与D比B多的周长一致，可知D的周长为24＋8＝32。

第三步，周长一定，越接近正方形面积越大，故D为正方形时即边长为8时面积最大，此时面积等于8×8＝64。
因此，选择C选项。
解法二：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用方程法解题。
第二步，设A的长和宽分别为x、y，由长方形A周长为20米，可得x＋y＝10；由长方形B周长24米，且长方形B与长方形A的长相同，可得B的长和宽分别为x、y＋2；由长方形C周长28米，且长方形C与长方形A的宽相同，可得C的长和宽分别为x＋4、y。那么长方形D的面积S＝(x＋4)(y＋2)＝(x＋4)(10－x＋2)＝(x＋4)(12－x)，当且仅当x＋4＝12－x，即x＝4时S取最大值，此时S＝64，故长方形D的最大面积为64平方米。
因此，选择C选项。
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