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考研
设连续函数f(x)满足,求f(x).
设连续函数f(x)满足,求f(x).
admin
2020-04-21
26
问题
设连续函数f(x)满足
,求f(x).
选项
答案
为了易于求导,将方程改写为 [*] 由于当f(x)连续时,上式右边可导,因而左边f(x)也可导,两边求导,有 [*] 同样,因等号右边可导,则fˊ(x)仍然可导.两边再求导,有 [*] 得出一个二阶常系数线性非齐次方程.解特征方程 λ
2
+1=0. 得齐次方程通解为y=C
1
sin x+C
2
cos x,再令特解为 [*] 代入方程得a=1/2,b=0.所求方程通解为 [*] 由已知条件,有初始条件f(0)=0,fˊ(0)=1,故C
1
=1/2,C
2
=0,最后有 f(x)=1/2xcos x+1/2sin x
解析
【思路探索】在已知等式的两端连续两次对x求导,得微分方程:f"(x)+f(x)=-sin x,解该方程可得f(x).
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考研数学二
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