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  3. 已知矩阵A＝与B＝相似． (Ⅰ)求χ，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP＝B．

已知矩阵A＝与B＝相似． (Ⅰ)求χ，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP＝B．

admin2017-11-09  36
问题 已知矩阵A＝与B＝相似．
    (Ⅰ)求χ，y，z的值；
    (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP＝B．
选项
答案(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为 ｜λ－A｜＝(λ－1)2(λ－3)， 故A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝3．于是，A与对角矩阵[*]相似， 又因为A与B相似，故B也与对角矩阵[*]相似，因此，B的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝3，且R(E－B)＝1， 又因为χ＋5＝λ1＋λ2＋λ3＝5，得χ＝0．由 E－B＝[*] 得y＝－2，z＝3． (Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P1＝[*]，即 P1-1AP1＝[*] 把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P2＝[*]，即 [*] 则P-1AP＝P2P1-1AP1P2-1＝P2[*]P2-1＝B．
解析
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考研数学三

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