2. 考研
  3. 设f(x)可导且f(1)＝0，证明：存在ξ，η∈(1，2)，使得4f(2)＝[2ξ2f(ξ)＋ξ3f’(ξ)]ln2＝4f’(η)．

设f(x)可导且f(1)＝0，证明：存在ξ，η∈(1，2)，使得4f(2)＝[2ξ2f(ξ)＋ξ3f’(ξ)]ln2＝4f’(η)．

admin2021-03-18  48
问题 设f(x)可导且f(1)＝0，证明：存在ξ，η∈(1，2)，使得4f(2)＝[2ξ2f(ξ)＋ξ3f’(ξ)]ln2＝4f’(η)．
选项
答案令f1(x)＝x2f(x)，g(x)＝lnx，显然g’(x)＝[*](1＜x＜2)， 由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得 [*] 整理得4f(2)＝[2ξ2f(ξ)＋ξ3f’(ξ)]ln2， 再由拉格朗日中值定理，存在η∈(1，2)，使得 f(2)＝f(2)－f(1)＝f’(η)(2－1)＝f’(η)， 故4f(2)＝[2ξ2f(ξ)＋ξ3f’(ξ)]ln2＝4f’(η)．
解析
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考研数学二

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