2. 考研
  3. 以下三个命题： ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为 (

以下三个命题： ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为 (

admin2019-05-15  26
问题 以下三个命题：
①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；
②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x2n}与{x2n1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
正确的个数为    (    )
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案D
解析 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un－A｜＜ε．
    可知当ni＞N时，恒有｜un－A｜＜ε．
    因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．
    对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即
    x1≤x2≤…≤xn≤…，
其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当niεN时，恒有
    ｜xni－A｜＜ε．
    由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有
    －ε＜xni－A≤xn－A≤xni+1－A＜ε，
从而
    ｜xn－A｜＜ε．
    可知数列{xn}收敛于A．因此命题正确．
    对于命题③，因，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在
自然数N1，N2：
    当2n＞N1时，恒有｜x2n－A｜＜ε；
    当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1－A｜＜ε．
    取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn－A｜＜ε，因此．可知命题正确．
    答案选D．
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