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如图1-10-3所示,阴影部分由曲线y=sinx(0≤x≤π),直线y=a(0≤a≤1),x=π以及y轴围成.此图形绕直线y=a旋转一周形成旋转体.问a为何值时,旋转体有最小体积,a为何值时,旋转体有最大体积.
如图1-10-3所示,阴影部分由曲线y=sinx(0≤x≤π),直线y=a(0≤a≤1),x=π以及y轴围成.此图形绕直线y=a旋转一周形成旋转体.问a为何值时,旋转体有最小体积,a为何值时,旋转体有最大体积.
admin
2021-07-08
38
问题
如图1-10-3所示,阴影部分由曲线y=sinx(0≤x≤π),直线y=a(0≤a≤1),x=π以及y轴围成.此图形绕直线y=a旋转一周形成旋转体.问a为何值时,旋转体有最小体积,a为何值时,旋转体有最大体积.
选项
答案
V=2∫
0
arcsina
π(a—sinx)
2
dx+∫
arcsina
π—arcsina
π(sinx—a)
2
dx =∫
0
arcsina
π(a—sinx)
2
dx+∫
0
π—arcsina
π(sinx—a)
2
dx 对第二个积分,令x=π—t,有 ∫
arcsina
π—arcsina
π(sinx—a)
2
dx=—∫
0
arcsina
π(sint—a)
2
dt=∫
πarcsina
π
π(a—sinx)
2
dx. 于是 V=∫
0
π
π(a—sinx)
2
dx=π
2
a
2
—4aπ+[*]π
2
则有V’(a)=2π
2
—4π[*] 0,解得[*]是唯一驻点,且V’’(a)=2π
2
>0.故[*]是极小值. 又 V(0)=π∫
0
π
sin
2
xdx=[*]π
2
, V(1)=π∫
0
π
(1—sinx)
2
dx=[*] 因此,当a=[*]时,旋转体体积最小;当a=0时,旋转体积最大.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/NqlRFFFM
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考研数学二
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