设A是3阶矩阵.已知|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0,则|A+4E|=___________.

admin2018-03-30  33

问题 设A是3阶矩阵.已知|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0,则|A+4E|=___________.

选项

答案6

解析 法一  由题设|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0知,A有三个不同的特征值λ1=一1,λ2=一2,λ3=一3,则A+4E的特征值为3,2,1,故|A+4E|=3×2×1=6.
    法二  由题设|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0知,A有三个不同的特征值λ1=一1,λ2=一2,λ3=一3,故存在可逆阵P,使得P-1AP= P-1,将其代入|A+4E|得
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