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  3. 设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型 f(χ1，χ2，…χn)＝χiχj (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型 f(χ1，χ2，…χn)＝χiχj (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

admin2018-11-23  24
问题 设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型
    f(χ1，χ2，…χn)＝χiχj
    (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．
    (2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?
选项
答案(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式Aij＝Aji，[*]，并且A-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是Aij／｜A｜，于是f(χ1，χ2，…，χn)＝XTA-1X． (2)A-1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A-1和A的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A-1和A合同，f(χ1，χ2，…，χn)和XTAX有相同的规范形．
解析
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考研数学一

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