下列条件不能保证n阶实对称阵A正定的是( )

admin2019-01-23  18

问题 下列条件不能保证n阶实对称阵A正定的是(    )

选项 A、A-1正定。
B、A没有负的特征值。
C、A的正惯性指数等于n。
D、A合同于单位矩阵。

答案B

解析 A-1正定表明存在可逆矩阵C,使CTA-1C=E,两边求逆得到
    C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=E,
即A合同于E,A正定,因此A项不正确。
    D选项是A正定的定义,因此D项不正确。
C选项表明A的正惯性指数等于n,故A是正定阵,因此C项也不正确。由排除法,故选B。
事实上,一个矩阵没有负的特征值,但可能有零特征值,而正定阵的特征值必须全是正数。
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