2. 考研
  3. 设x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，θ)中的累次积分： 　　(Ⅰ)f(x，y)dy； (Ⅱ)∫01dy∫01—yf(x，y)dx．

设x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，θ)中的累次积分： 　　(Ⅰ)f(x，y)dy； (Ⅱ)∫01dy∫01—yf(x，y)dx．

admin2017-10-23  29
问题 设x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，θ)中的累次积分：
　　(Ⅰ)f(x，y)dy；
    (Ⅱ)∫01dy∫01—yf(x，y)dx．
选项
答案(Ⅰ)积分区域D如图4．24所示，可见区域D位于[*]的扇形中，且极点在D的边界上，D的边界方程为r=cosθ，于是D可表示为D={(r，θ)｜[*]，0≤r≤cosθ}，故 [*] (Ⅱ)积分区域D如图4．25所示，可见区域D位于0≤θ≤[*]的扇形中，且极点在D的边界上，D的上边界方程的直角坐标方程是x+y=1，从而它的极坐标方程是r=[*]，于是。可表示为D={(r，θ)｜0≤θ≤[*]}，故 ∫01dy∫01—yf(x，y)dx=[*]f(rcosθ，rsinθ)rdr。
解析 求解与本例同类问题的步骤是：第一步，画出题设累次积分对应的积分区域D的图形；第二步，用极坐标系(r，θ)中的不等式组表示D；第三步，按照第二步中结果写出极坐标系中的累次积分．
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考研数学三

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