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设f(x)在(a,b)内处处可导,且满足f’(x)≠0.证明对任何x0∈(a,b)一定存在x1,x2∈(a,b)使得f(x1)>f(x0)>f(x2).
设f(x)在(a,b)内处处可导,且满足f’(x)≠0.证明对任何x0∈(a,b)一定存在x1,x2∈(a,b)使得f(x1)>f(x0)>f(x2).
admin
2019-02-20
21
问题
设f(x)在(a,b)内处处可导,且满足f’(x)≠0.证明对任何x
0
∈(a,b)一定存在x
1
,x
2
∈(a,b)使得f(x
1
)>f(x
0
)>f(x
2
).
选项
答案
假设结论不正确,则存在x
0
∈(a,b)使得对任何x∈(a,b),要么f(x)≥f(x
0
)(这时f(x
0
)为极小值);要么f(x)≤f(x
0
)(这时f(x
0
)为极大值).因此若结论不正确,则f(x)必在(a,b)内某点x
0
处取得极值.由于f(x)在(a,b)内处处可导,由费马定理可知f’(x
0
)=0,但是对一切x∈(a,b)有f’(x)≠0,这就产生了矛盾.因此结论正确.
解析
f(x
1
)>f(x
0
)>f(x
2
)的含义是既有函数值小于f(x
0
)的点又有函数值大于f(x
0
)的点.若这个结论不正确,则在(a,b)内的函数值要么处处不小于f(x
0
),要么处处不大于f(x
0
),这时f(x
0
)就是极值.由费马定理得出f’(x
0
)=0,此与条件矛盾.
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0
考研数学三
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