设y=y(x)(x>0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解,且 (I)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离. (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx.

admin2017-12-18  20

问题 设y=y(x)(x>0)是微分方程2y“+y’一y=(4—6x)e-x的一个解,且
(I)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离.
(Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx.

选项

答案(I)2y"+y’一y=(4—6x)e-x的特征方程为2λ2+λ—1=0,特征值为λ1=一1,[*] 2y"+y’一y=0的通解为y=C1e-x+[*] 令2y"+y’一y=(4—6x)e-x的特解为y0=(ax2+bx)e-x,代入得a=1,b=0, 原方程的通解为y=C1e-x+[*] 由[*]得y(0)=0,y’(0)=0,代入通解得C1=C2=0,故y=x2e-x. 由y’=(2x一x2)e-x=0得x=2, 当x∈(0,2)时,y’>0;当x>2时,y’<0,则x=2为y(x)的最大点, 故最大距离为dmax=y(2)=4e-2. (Ⅱ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e-xdx=Γ(3)=2!=2.

解析
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