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  3. 设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

admin2019-07-12  25
问题 设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是(    )
选项 A、A+B是对称矩阵．
B、AB是对称矩阵．
C、A*+B*是对称矩阵．
D、A-2B是对称矩阵．
答案B
解析 由题设条件，则
    (A+B)T=AT+BT=A+B，
  及
    (kB)T=kBT=kB，
  所以有
    (A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B，
  从而选项A、D的结论是正确的．
    首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等．(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij从而(AT)*=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*亦为对称矩阵．结合选项A的结论，则选项C的结论是正确的．
    因为(AB)T=BTAT=BA，从而选项B的结论不正确．
    注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA．
    所以应选B．
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考研数学三

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