设f(χ)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(χ)-f′(χ)|≤1,证明:|f(χ)|≤1.

admin2021-11-09  30

问题 设f(χ)在(-∞,+∞)上是导数连续的有界函数,|f(χ)-f′(χ)|≤1,证明:|f(χ)|≤1.

选项

答案因为f(χ)有界,所以[*]e-χf(χ)=0, 于是e-χf(χ)|χ+∞=∫χ+∞[e-χf(χ)]′dχ, 即-e-χf(χ)=∫χ+∞-e-χ[f(χ)-f′(χ)]dχ,两边取绝对值得 e-χ|f(χ)|≤∫χ+∞e-χ|f(χ)-f′(χ)|dχ≤∫χ+∞e-χdχ=e-χ,故|f(χ)|≤1.

解析
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