设A=E-ξξT，其中E为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明A2=A的充要条件是ξTξ=1；

admin2020-03-02 15

问题设A=E-ξξ^T，其中E为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．证明A²=A的充要条件是ξ^Tξ=1；

选项

答案A²=(E-ξξ^T)(E-ξξ^T) =E-2ξξ^T+ξξ^Tξξ^T =E-ξξ^T+ξ(ξ^Tξ)ξ^T-ξξ^T =A+(ξ^Tξ)ξξ^T-ξξ^T，那么A²=A (ξ^Tξ-1)ξξ^T=0．因为ξ是非零列向量，ξξ^T≠0，敝A²=A ξ^Tξ-1=0即孝ξ^Tξ=1．

解析

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考研数学一

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