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设Q(x,y)在Dxy平面有一阶连续偏导数,积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.t 恒有2xydx+Q(x,y)dy, (*) 求Q(x,y).
设Q(x,y)在Dxy平面有一阶连续偏导数,积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.t 恒有2xydx+Q(x,y)dy, (*) 求Q(x,y).
admin
2016-10-26
32
问题
设Q(x,y)在Dxy平面有一阶连续偏导数,积分∫
L
2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.
t
恒有
2xydx+Q(x,y)dy, (*)
求Q(x,y).
选项
答案
首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得[*](2xy)=2x.对x积分得Q(x,y)=x
2
+φ(y),下面由(*)定出φ(y),为此就要求(*)中的曲线积分,得到φ(y)满足的关系式,再求φ(y). 通过求原函数计算积分: 2xydx+[x
2
+φ(y)]dy=d[x
2
y+[*]φ(s)ds]. 由(*)式,得[x
2
y+[*] 即t
2
+[*] 求导得 2t=1+φ(t) ([*]t),即 φ(t)=2t-1,易验证它满足上式. 因此 Q(x,y)=z
2
+φ(y)=x
2
+2y-1.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/J8wRFFFM
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考研数学一
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