设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(ξn,0),则f(ξn)=( ).

admin2018-09-29  49

问题 设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(ξn,0),则f(ξn)=(    ).

选项 A、e
B、1/e
C、-1/e
D、-e

答案B

解析 首先应求出ξn,进而得到f(ξn),最后求出极限值.因为ξn是曲线在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标,即x轴截距,所以还需从切线方程入手.注意点(1,1)在曲线f(x)=xn上.
由于f’(x)=nxn-1,所以过点(1,1)的切线斜率k=f’(1)=n.切线方程为
y-1-=n(x-1),
令y=0,代入切线方程,求得的x值就是ξn.所以
ξn=1-
f(ξn)=(1-)n

=e-1=1/e.
故选B.
ξn的几何意义是说,随着n的增大,曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点就越来越靠近点(1,0).当n→∞时,切线的极限位置将是一条过点(1,1)且垂直于x轴的直线,此时切线的斜率k=∞.
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