设α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是_______。

admin2018-02-07 29

问题设α=(1，0，1)^T，A=αα^T，若B=(kE+A)^*是正定矩阵，则k的取值范围是_______。

选项

答案k＞0或k＜一2

解析矩阵A=αα^T的秩为1，且tr(A)=α^Tα=2，故矩阵A的特征值是2，0，0，从而矩阵kE+A的特征值是k+2，k，k。矩阵B=(kE+A)^*=｜kE+A｜(kE+A)^－1的特征值是k²，k(k+2)，k(k+2)。
矩阵B正定的充要条件是特征值均大于零，即k²＞0且k(k+2)＞0，解得k＞0或k＜一2。

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