n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2018-05-17  40

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是(    )

选项 A、二次型xTAx的负惯性指数为零。
B、存在可逆矩阵P使P-1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C-1C。
D、A的伴随矩阵A*与E合同。

答案D

解析 选项A是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+q≤n,当q=0时,有r(A)=p≤n。此时有可能P<n,故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x1,x2,x3)=x12+5x32
选项B是充分不必要条件。这是因为P-1AP=E表示A与E相似,即A的特征值全是1,此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定,因此特征值全是1是不必要的。选项C中的矩阵C没有可逆的条件,因此对于A=CTC不能说A与E合同,也就没有A是正定矩阵的结论。例如

显然矩阵不正定。
关于选项D,由于

所以D是充分必要条件。
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