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设f(x)是区间[-π,π]上的偶函数,且满足f(-x).证明:f(x)在[-π,π]上的傅里叶级数展开式中系数a2n=0,n=1,2,….
设f(x)是区间[-π,π]上的偶函数,且满足f(-x).证明:f(x)在[-π,π]上的傅里叶级数展开式中系数a2n=0,n=1,2,….
admin
2018-06-15
50
问题
设f(x)是区间[-π,π]上的偶函数,且满足f(
-x).证明:f(x)在[-π,π]上的傅里叶级数展开式中系数a
2n
=0,n=1,2,….
选项
答案
由于f(x)为偶函数,所以 a
2n
=2/π∫
0
π
f(x)cos(2nx)dx=2/π[∫
0
π/2
f(x)cos(2nx)dx+∫
π/2
π
f(x)cos(2nx)dx]. 对于右端前一个积分,令x=[*]-t,后一个积分,令x=[*]+t,则 [*] 根据假设f([*]+t)=0,所以a
2n
=0,n=1,2,….
解析
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考研数学一
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