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确定常数a和b,使得函数f(x)=处处可导.
确定常数a和b,使得函数f(x)=处处可导.
admin
2016-10-26
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问题
确定常数a和b,使得函数f(x)=
处处可导.
选项
答案
由f(x)在x=0处可导,得f(x)在x=0处连续.由表达式知,f(x)在x=0右连续.于是,f(x)在x=0连续[*](sinx+2ae
x
)=2a=f(0)[*]2a=-2b,即a+b=0. 又f(x)在x=0可导[*]f′
+
(0)=f′
-
(0).在a+b=0条件下,f(x)可改写成 f(x)=[*] 于是 f′
+
(0)=[9arctanx+2b(x-1)
3
]′|
x=0
=[[*]+6b(x-1)
2
]|
x=0
=9+6b, f′
-
(0)=(sinx+2ae
x
)′|
x=0
=1+2a. 因此f(x)在x=0可导[*] 故仅当a=1,b=-1时f(x)处处可导.
解析
这是分段函数,当x>0与x<0时分别与某初等函数相等,是可导的,关键是确定a和b,使得f(x)在x=0处可导.对这类问题是根据:
①函数在某点可导则在该点连续;
②函数在某些点处可导,则在该点处左、右导数相等这两个性质,建立两个待定常数间的两个关系式,然后解出来.
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考研数学一
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