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设f(x)在[x1,x2]可导,0<x1<x2,证明:∈(x1,x2)使得
设f(x)在[x1,x2]可导,0<x1<x2,证明:∈(x1,x2)使得
admin
2018-11-11
42
问题
设f(x)在[x
1
,x
2
]可导,0<x
1
<x
2
,证明:
∈(x
1
,x
2
)使得
选项
答案
令[*]∈(x
1
,x
2
)使得l=f(ξ)-ξf’(ξ)[*]xf’(x)-f(x)+l在(x
1
,x
2
)存在零点[*]在(x
1
,x
2
)存在零点[*]在(x
1
,x
2
)存在零点[*]在(x
1
,x
2
)存在零点. 令F(x)=[*],则f(x)在[x
1
,x
2
]可导,又 F(x
1
)=[*][f(x
1
)-l],F(x
2
)=[*][f(x
2
)-l], F(x
1
)-F(x
2
)=[*][f(x
1
)x
2
-f(x
2
)x
1
-l(x
2
-x
1
)]=0. 因此,由罗尔定理,[*]∈(x
1
,x
2
),使得 F’(ξ)=[*][ξf’(ξ)-f(ξ)+1]=0, 即f(ξ)-ξf’(ξ)=l.
解析
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考研数学二
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