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在第一象限求一曲线,使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2,且曲线过点(a,a),a>0为常数.
在第一象限求一曲线,使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2,且曲线过点(a,a),a>0为常数.
admin
2019-08-06
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问题
在第一象限求一曲线,使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a
2
,且曲线过点(a,a),a>0为常数.
选项
答案
设所求曲线为y=f(x).由题设,作出所围梯形,如图1—9—2中的阴影部分所示. [*] 过曲线y=f(x)上的点(x,y)的切线方程为 Y—y=f’(x)(X—x). 令Y=0,得切线在x轴上的截距为X=x一[*],即为梯形的下底的长度. 又梯形的上底的长为x,高为y.因此,梯形面积为 S=[*]=a
2
. 由此得微分方程2(xy一a
2
)y’=y
2
,即y
2
[*]一2yx=一2a
2
. 这是关于y的一阶非齐次线性微分方程,可求得通解为x=cy
2
+[*],其中c为任意常数. 又因为曲线过点(a,a),即满足初始条件y(a)=a.代入通解中,得c=[*].
解析
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考研数学三
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