设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有四个命题: ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则r(A)≥r(B); ②若r(A)≥r(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③若Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(n); ④若r(

admin2018-01-12  18

问题 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有四个命题:
①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则r(A)≥r(B);
②若r(A)≥r(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;
③若Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(n);
④若r(A)=r(B),则Ax=0与Bx=0同解。
以上命题中正确的有(    )

选项 A、①②。
B、①③。
C、②④。
D、③④。

答案B

解析 由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系,此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况,所以②,④显然不正确,利用排除法,可得正确选项为B。
    下面证明①,③正确:
    对于①,由Ax=0的解均是Bx=0的解可知,方程组Bx=0含于Ax=0之中。从而Ax=0的有效方程的个数(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的个数(即r(B)),故r(A)≥r(B)。
    对于③,由于A,B为同型矩阵,若Ax=0与Bx=0同解,则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同,即
    n-r(A)=n-r(B),
  从而r(A)=r(B)。
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