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  3. 数列{xn}满足x1＞0，(n=1，2，…)．证明：{xn}收敛，并求

数列{xn}满足x1＞0，(n=1，2，…)．证明：{xn}收敛，并求

admin2019-07-23  19
问题 数列{xn}满足x1＞0，(n=1，2，…)．证明：{xn}收敛，并求
选项
答案设f(x)=ex一1一x，x＞0，则有 f’(x)=ex一1＞0，因此f(x)＞0，[*] 从而[*]，x2＞0； 猜想xn＞0，现用数学归纳法证明： n=1时，x1＞0，成立； 假设n=k(k=1，2，…)时，有xk＞0，则n=k+1时有 [*] 因此xn＞0，有下界． [*] 设g(x)=ex一1一xex， x＞0时，g’(x)=ex一ex一xex=一xex＜0， 所以g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有ex一1＜xex， [*] 因为g(x)=ex一1一xex只有唯一的零点x=0，所以A=0．
解析
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考研数学一

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