设g(x)在(一∞,+∞)内连续,g(1)=1,∫01g(x)dx=,令f(x)=∫0xg(x—t)t2dt,求f"(1),f"’(1).

admin2017-10-19  45

问题 设g(x)在(一∞,+∞)内连续,g(1)=1,∫01g(x)dx=,令f(x)=∫0xg(x—t)t2dt,求f"(1),f"’(1).

选项

答案令x—t=u,则 f(x)=∫0xg(u)(x一u)2du=x20xg(u)du一2x∫0xug(u)du+∫0xg(u)u2du. 于是 f’(x)=2x∫0xg(u)du+x2g(x)一2∫0xug(u)du一2x2g(x)+x2g(x) =2x∫0xg(u)du一2∫0xug(u)du, f"(x)=2∫0xg(u)du+2xg(x)一2xg(x)=2∫0xg(u)du, f"’(x)=2g(x), 所以,f"’(1)=2∫01g(u)du=1,f"’(1)=2g(1)=2.

解析 将含参变量积分中的参数经变换提至积分号外,可得f(x)的表达式,然后直接求f’(x),f"(x),f"’(x),再求f’(1),f"(1),f"’(1).
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