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设f(x)在[1,+∞)上有连续的二阶导数,f(1)=0,fˊ(1)=1,且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足,求f(x)在[1,+∞)的最大值
设f(x)在[1,+∞)上有连续的二阶导数,f(1)=0,fˊ(1)=1,且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足,求f(x)在[1,+∞)的最大值
admin
2016-03-18
35
问题
设f(x)在[1,+∞)上有连续的二阶导数,f(1)=0,fˊ(1)=1,且二元函数z=(x
2
+y
2
)f(x
2
+y
2
)满足
,求f(x)在[1,+∞)的最大值
选项
答案
[*]=2xf+2x(x
2
+y
2
) fˊ [*]=2f+(10x
2
+2y
2
) fˊ +(4x
4
+4x
2
y
2
)厂, 根据对称性得 [*]=2f+(10y
2
+2x
2
) fˊ+(4y
4
+4x
2
y
2
) fˊˊ [*]=4f+12(x
2
+y
2
) fˊ+4(x
2
+y
2
)
2
fˊˊ 令x
2
+y
2
=r,由[*]得f+3rfˊ+r
2
fˊ=0, 令r=e
t
,[*]整理得 [*] 解得f=(C
1
+C
2
t)e
-t
,于是f(r)=( C
1
+C
2
lnr)[*],由f(1)=0,得C
1
=0,f(r)=[*],fˊ(r)=[*],由fˊ(1)=1,得C
2
=1,于是[*],得x=e,当x∈(1,e)时,fˊ(x)>0,当x>e时,fˊ(x)<0,则x=e为f(x)在[1,+∞)上的最大值点,最大值为[*]
解析
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0
考研数学一
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