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考研
设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是
设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是
admin
2017-04-23
23
问题
设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是
选项
A、r(A)=r(B).
B、|A|=|B|.
C、A与B有相同的特征多项式.
D、A、B有相同的特征值λ
1
,…,λ
n
,且λ
1
,…,λ
n
互不相同.
答案
D
解析
当n阶方阵有n个互不相同特征值时,它必相似于对角矩阵.故在选项(D)的条件下,存在适当的可逆矩阵P、Q,使P
一1
AP=D,Q
一1
BQ=D,其中D=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)为对角矩阵,故有P
一1
AP=Q
一1
BQ,
QP
一1
APQ
一1
=B,→(PQ
一1
)
一1
A(PQ
一1
)=B,记矩阵M=PQ
一1
,则M可逆,且使M
一1
AM=B,所以在选项(D)的条件下,A与B必相似.
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考研数学二
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