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设A是3阶实对称矩阵,其主对角线元素都是0,并且α=(1,2,-1)T满足Aα=2α.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
设A是3阶实对称矩阵,其主对角线元素都是0,并且α=(1,2,-1)T满足Aα=2α.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
admin
2018-06-12
26
问题
设A是3阶实对称矩阵,其主对角线元素都是0,并且α=(1,2,-1)
T
满足Aα=2α.(Ⅰ)求矩阵A;(Ⅱ)求正交矩阵P,使P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)设A=[*],由Aα=2α得到 [*]a
12
=2,a
13
=2,a
23
=-2. 故A=[*] (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)
2
(λ+4), 得到矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-4. 对于λ=2,由(2E-A)χ=0, [*] 得到属于λ=2的特征向量α
1
=(1,2,-1)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
. 对λ=-4,由(-4E-A)χ=0, [*] 得到属于λ=-4的特征向量α
3
=(-1,1,1)
T
. 因为α
1
,α
2
已正交,故只需单位化,有 [*] 那么,令P=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*] 则P
-1
AP=∧=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/Dx2RFFFM
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考研数学一
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