用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x3x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。

admin2017-01-13 32

问题用正交变换将二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²一2x₂²一2x₃²一4x₁x₂+4x₁x₃+8x₃x₃化为标准形，并给出所施行的正交变换。

选项

答案二次型的矩阵为[*] 特征多项式为[*] 矩阵A的特征值为λ₁=一7，λ₂=λ₃=2。由(λ_iE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ₁=一7和λ₂=λ₃=2对应的特征向量分别为α₁=(1，2，一2)^T，α₂=(一2，1，0)^T，α₃=(2，0，1)^T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α₂,α₃正交化，即[*] 再将α₁，β₂，β₄单位化，即 [*] 则二次型x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为一7y₁²+2y₂²+2y₃²。

解析

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考研数学二

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设函数f(x)闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f’(x)＞0,若极限存在，证明：在(a,b)内存在与第二小题中ξ相异的点η，使得f’(η)(b2－a2)=∫abf(x)dx。
将函数展开成(x－1)的幂级数，并证明：
根据已知条件，进行作答。设f(x)在[a,b]上连续，且严格单增，证明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx。
设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定exy－xy=2和ex=.
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设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ζ，使f"’(ζ)=3．

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