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已知函数f(x)在区间[a,+∞)上具有二阶导数,f(a)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(zx0,0),证明a<x0<b。
已知函数f(x)在区间[a,+∞)上具有二阶导数,f(a)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(zx0,0),证明a<x0<b。
admin
2021-01-19
107
问题
已知函数f(x)在区间[a,+∞)上具有二阶导数,f(a)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,设b>a,曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线与x轴的交点是(zx
0
,0),证明a<x
0
<b。
选项
答案
切线方程为y=f’(b)(x-b)+f(b),与x轴的交点为(b-[*],0),则有 x
0
=b-[*] 由于f’(x)>0,可知f(b)>f(a)=0,故b-[*]<b。 下面证明b-[*]>a,由于f’(b)>0,故不等式可化为bf’(b)-f(b)>af’(b),则令 g(x)=xf’(x)-f(x)-af’(x),g(a)=0,g’(x)=(x-a)f"(x)>0, 可知当x>a时,g’(x)>0。故xf’(x)-f(x)-af’(x)>0,即b-[*]>a,证毕。
解析
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考研数学二
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