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  3. 求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。

求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。

admin2018-05-25  30
问题 求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。
选项
答案区域D如图5—3所示，它是有界闭区域，z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，其最值或在D内的驻点处取得，或在D的边界上取得。 [*] 为求D内驻点，先求 [*]=2xy(4一x一y)一x2y=xy(8—3x一2y)， [*]=x2(4一x一y)一x2y=x2(4一x一2y)。 令[*]解得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4。 在D的边界y=0，0≤x≤6或z=0，0≤y≤6上z(x，y)=0； 在边界x+y=6(0≤x≤6)上，将y=6一x代入z(x，y)，有z(x，y)=x2(6一x)(一2)=2(x3一6x2)(0≤x≤6)。令h(x)=2(x3一6x2)，则h’(x)=6(x2一4x)，得h’(4)=0，h’(0)=0。 且h(4)=一64，h(0)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为一64。 综上，[*]{z(x，y)}=一64。
解析
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