求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。

admin2018-05-25  30

问题 求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值。

选项

答案区域D如图5—3所示,它是有界闭区域,z(x,y)在D上连续,所以在D上一定有最大值与最小值,其最值或在D内的驻点处取得,或在D的边界上取得。 [*] 为求D内驻点,先求 [*]=2xy(4一x一y)一x2y=xy(8—3x一2y), [*]=x2(4一x一y)一x2y=x2(4一x一2y)。 令[*]解得z(x,y)在D内的唯一驻点(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4。 在D的边界y=0,0≤x≤6或z=0,0≤y≤6上z(x,y)=0; 在边界x+y=6(0≤x≤6)上,将y=6一x代入z(x,y),有z(x,y)=x2(6一x)(一2)=2(x3一6x2)(0≤x≤6)。令h(x)=2(x3一6x2),则h’(x)=6(x2一4x),得h’(4)=0,h’(0)=0。 且h(4)=一64,h(0)=0,即z(x,y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0,最小值为一64。 综上,[*]{z(x,y)}=一64。

解析
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