设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3=xTAx，其中AT=A．求正交矩阵Q，使得XTAX在正交变换X=QY下化为标准二次型．

admin2017-03-02 43

问题设f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+2x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃=x^TAx，其中A^T=A．

求正交矩阵Q，使得X^TAX在正交变换X=QY下化为标准二次型．

选项

答案[*] 由AB=O得B的列为AX=O的解，令[*]．由Aα₁=0α₁，Aα₁=0α₂得λ₁=λ₂=0为A的特征值，α₁，α₂为λ₁=λ₂=0对应的线性无关的特征向量，又由λ₁+λ₂+λ₃=tr(A)=6得λ₃=4．令[*] 为λ₃=4对应的特征向量，由A^T=A得[*] λ₃=4对应的线性无关的特征向量为[*] 令[*] 单位化得 [*]

解析

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考研数学三

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