求微分方程y"-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．

admin2013-02-27 53

问题求微分方程y"-2y’-e^2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．

选项

答案齐次方程y"-2y’=0的特征方程为λ²-2λ=0．由此求得特征根λ₁=0，λ₂=2.对应齐次方程的通解为y=C₁+C₂e^2x．设非齐次方程的特解为y"=Axe^2x，则 (y^*)’=(A+2Ax)e^2x，(y^*)"=4A(1+x)e^2x 代入原方程，可得A=1/2，从而y^*=1/2xe^2x．于是，原方程的通解为y=y+y^*=C₁+(C₂+1/2x)e^2x. 将y(0)=1和y’(0)=1代入通解，求得C₁=3/4，C₂=1/4．从而，所求解为 y=3/4++1/4(1+2x)e^2x．

解析

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考研数学三

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