设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.

admin2021-11-25  37

问题 设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.

选项

答案f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3的矩阵形式为 f=XTAX 其中[*],因为QTAQ=B=[*],所以A~B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是A的特征值为1,1,4 而|λE-A|=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2),所以有 λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4) 解得a=2,b=1. 当λ12=1时,由(E-A)X=0得ξ1=[*],ξ2=[*], 当λ3=4时,由(4E-A)X=0得ξ3=[*] 显然ξ123两两正交,单位化为 [*]

解析
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